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复数与复变函数

复数

概念及运算

表示

乘幂与方根

区域

复变函数

概念

几何意义

极限

连续

解析函数

复变函数的导数与微分

解析函数

初等解析函数

调和函数的关系

调和函数概念

• 有二阶连续偏导且满足拉普拉斯公式

与调和函数的关系

解析函数构建方法

• 步骤
  1. 首先验证是否为调和函数
  2. 找共轭调和函数
• 方法
  1. 不定积分法
  2. 全微分法
  3. 导数公式法
  4. 曲线积分法

物理意义

解析函数表述平面矢量场

静电场的复势

复变函数积分

复变函数积分

定义

• 有向曲线
  • 定义
  • 方向
    • 开口弧端 L or $L^+$ 正方向
    • 简单闭曲线 逆时针 为正
    • 复连通区域 区域保持在左侧为正
• 积分
  • 定义
    • 函数在给定的光滑或逐段光滑曲线L上有定义，且L是有向曲线
    • 复积分
      • $\int_L{f(z)dz = \lim_{\to 0}{f()\Delta z_k}}$
  • 闭合环路积分
    • L 为封闭曲线，则沿此积分称为复变函数的闭合环路积分

复积分存在的条件及计算方法

• 若函数$ w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在光滑曲线L上连续，则f(z)沿曲线L的积分存在，且满足$\int_L f(z)dz = \int_L[udx-vdy]+i\int_L[vdx+udy]$

复积分基本性质

• L 由$L_1$ 和 $L_2$ 两段组成
• 积分内的因子可在积分号外
• 函数和(差)积分等于各函数积分的和(差）
• 方向发生变化，则变号
• 积分的模不大于被积表达式模的积分
• 积分估值定理

环路积分的物理意义

• 设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域D内，L为D内的光滑有向曲线，$\vec{P}$为$f(z)$的共轭，即：$f(z)=u(x,y)-iv(x,y)$，i为虚数单位
• $\vec{P}=u(x,y)\vec{e}_x-v(x,y)\vec{e}_y$
• $dz=dx+idy \to ds\vec{l_0}=dx\vec{e_x}+dy\vec{e_y}$
• $-dz=dy-idx \to ds\vec{n_0}=dy\vec{e_x}-dx\vec{e_y}$
• $\vec{l_0}$为曲线C在点z沿曲线方向的单位矢量，$\vec{n_0}$为该点处单位法矢量，$ds$为弧积分
• $\vec{P}\cdot\vec{l_0}ds=[u(x,y)\vec{e}_x-v(x,y)\vec{e}_y]\cdot[dx\vec{e_x}+dy\vec{e_y}]=u(x,y)dx-v(x,y)dy$
• $\vec{P}\cdot\vec{n_0}ds=[u(x,y)\vec{e}_x-v(x,y)\vec{e}_y]\cdot[dy\vec{e_x}-dx\vec{e_y}]=v(x,y)dx+u(x,y)dy$
• $$\oint_L f(z)dz=\oint_L [u(x,y)+iv(x,y)]d(x+iy)=\oint_L{u(x,y)dx-v(x,y)dy}+ i\oint_L{v(x,y)dx+u(x,y)dy}=\oint_L{\vec{P}\cdot\vec{l_0}}ds+i\oint_L{\vec{P}\cdot\vec{n_0}}ds$$
• 物理意义：实部表示矢量场沿曲线L的环量 虚部表示矢量场沿曲线L的通量

柯西积分定理及其应用

柯西积分定理

• 定理1 含义
  • $f(z)$在单连通域D内积其边线$L$上解析，则沿边界L或区域D内任意闭曲线$l$的积分为0
  • $\oint_L{f(z)dz}=0$
  • 内容
    • 开区域解析
    • 边界正方向规定
    • 格林定理
      • $P(x,y)$ $Q(x,y)$ 连续偏导数，$\oint_L{P(x,y)dx+Q(x,y)dy} = \iint_D{[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}]}dxdy$
• 定理2
  • 解析函数积分与路径无关

不定积分

• 定理3
  • 在单连通域D内的积分只与起点和终点有关
• 定理4
  • f(z)在单连通域处处解析，则F(z)在D内也解析，且$F^{‘}(z)=f(z)$
• 定理5
  • 任两个原函数相差一个常数
• 定理6
  • 牛顿-莱布尼茨公式

  • $\int_{z_0}^{z_1}f(z)dz=G(z)

    _{z_0}^{z_1}=G(z_1)-G(z_0)$

物理意义

基本定理的推广 - 复合闭路定理

柯西积分公式

• 无界区域柯西积分公式 $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_L{\frac{f(z)}{z-z_0}}dz$

柯西积分公式的推论

解析函数的无限次可微性

$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C{\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz}$

解析函数的平均值公式

柯西不等式

函数f(z)在圆C:$|z-z_0|<R$内及其边线上解析，$|f(z)|\leq M$ $|f^{(n)}(z_0)|\leq \frac{n!M}{R^n} (n=1,2,....)$

刘维尔定理

• f(z)有界的整函数 则f(z)必为常数

莫勒纳定理

D内任一围线C $\oint_C{f(z)dz}=0$

最大模定理

$f(z)$闭区域解析 则其模只能在区域的边界上达到最大值

代数基本定理

任复系数多项式$f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+a_2z^{n-2}+a_3z^{n-3}+…+a_{n-1}z+a_n$必有零点

解析函数的幂级数表示