基本概念

质量流量

• 概念 单位时间里流体通过封闭管道或敞开槽有效截面的流体质量
• 单位 kg/h,kg/s
• 与体积流量(单位时间流体通过的体积)对应,可表示为体积流量与流体密度的乘积

推导

空间位置固定的有限控制体模型

思想

• 通过S流出控制体的净质量流量(B)等于控制体质量减少的时间变化率(C)
• 图示

净质量流量(B)

• 质量流量=密度 \(*\) 表面面积 * 垂直与表面的速度分量
  • $\rho\vec{V}_nds = \rho \vec{V} \cdot d\vec{S} = \rho|\vec{V}| |d\vec{S}|\cdot \cos\theta$
  • 其中$d\vec{S}$总是指向外，
  • \(\vec{V}\)指向外，则\(\rho \vec{V} \cdot d\vec{S}\)为正，表示流出
  • \(\vec{V}\)指向内，则\(\rho \vec{V} \cdot d\vec{S}\)为负，表示流入
• B=\(\iint_S \rho \vec{V}\cdot d\vec{S}\)

控制体质量减少的时间变化率(C)

• 包含体积微元\(d\mathscr{V}\) 中的质量为\(\rho d\mathscr{V}\)
• 控制体的总质量为\(\iiint_{\mathscr{V}}\rho d\mathscr{V}\)
• 质量的增加率为\(\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{\mathscr{V}}\rho d\mathscr{V}\)
• \(C=-\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{\mathscr{V}}\rho d\mathscr{V}\)

B=C

• \(\iint_S \rho \vec{V}\cdot d\vec{S} = -\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{\mathscr{V}}\rho d\mathscr{V}\)
• 空间位置固定的流体模型导出的控制方程为守恒型方程
• 守恒 积分形式如下
  • \(\frac{\partial}{\partial t}\iiint_{\mathscr{V}}\rho d\mathscr{V}+\iint_S \rho \vec{V}\cdot d\vec{S}=0\)

随流体运动的有限控制体模型

思想

• 控制体总是有相同的、可辨认的质量微团组成，即控制体有固定不变的质量
• 当固定不变的质量流动时，控制体的形状和体积一般都发生变化

质量

• 考察控制体内一个无穷小体积微元$d\mathscr{V}$
• 微元质量为$\rho d\mathscr{V}$，其中$\rho$是当地密度
• 有限控制体的总质量为
  • \(m=\iiint_{\mathscr{V}}\rho d\mathscr{V}\)
  • 整个积分域是\(\mathscr{V}\),但是在流动的过程中\(\mathscr{V}\)是变化的
• 物质导数所表达的是流体微团随流体运动时，其任何属性对时间的变化率
• 因控制体是由无数个无穷小流体微团组成，并且有固定不变的总质量，则物质导数为0
  • 非守恒形式的积分形式
  • \(\frac{D}{Dt}\iiint_{\mathscr{V}}\rho d\mathscr{V}=0\)

空间位置固定的无穷小微团模型

思想

• 流出微团的净质量流量等于微团内质量的减少
• 规定净流出量为正

净流出量

• x方向的净流出量
  • \([\rho u+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}dx]dydz-(\rho u)dydz=\frac{\partial(\rho u)}{\partial{x}}dxdydz\)
• y方向的净流出量
  • \([\rho v+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}dy]dxdz-(\rho v)dxdz=\frac{\partial(\rho v)}{\partial{y}}dxdydz\)
• z方向的净流出量
  • \([\rho w+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}dz]dxdy-(\rho w)dxdy=\frac{\partial(\rho w)}{\partial{z}}dxdydz\)
• 净质量流量
  • \((\frac{\partial(\rho u)}{\partial{x}}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial{y}}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial{z}})dxdydz\)

质量增加的时间变化率

• 无穷小微团内流体的总质量为\(\rho dxdydz\)
• 质量增加的时间变化率
  • \(\frac{\partial{\rho }}{\partial{t}}(dxdydz)\)

守恒微分形式

• \((\frac{\partial(\rho u)}{\partial{x}}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial{y}}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial{z}})dxdydz = -\frac{\partial{(\rho )}}{\partial{t}}(dxdydz) \)
• \(\frac{\partial{(\rho )}}{\partial{t}} + (\frac{\partial(\rho u)}{\partial{x}}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial{y}}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial{z}}) = 0 \)
• \(\frac{\partial{\rho}}{\partial{t}}+\nabla\cdot(\rho \vec{V})=0\)

随流体运动的无穷小微团模型

思想

总结

方程不同形式的转化